Un semn al
întrebării despre numărul pi - π
Am citit cu plăcere cartea ,,Marele roman
al matematicii – din preistorie până în zielele noastre” Editura Trei, 2021, scrisă
de matematicianul francez Mickaёl Launay. O carte uluitoare, scrisă simplu şi
în acealaşi timp foarte complex. Pe lângă multe multe idei şi întâmplări legate
de istoria gândirii în matematică, autorul se opreşte destul de des la ciudatul
număr pi, sau scris cu simbolul grecesc consacrat, π , (adică 3,14…) şi la
legăturile misterioase pe care le are acest număr cu aproape toate ramurile
ştiințelor.
Ce este acest număr? Este raportul dintre
lungimea unui cerc şi diametrul acestuia. Simplu. Cunoscut de toată lumea ca
fiind egal cu 3,14. Ceea ce m-a intrigat
nu a fost doar semnificația acestui număr, ci natura pur ,,numerică” a acestui invariant
universal. Este un invariant, la scară mare, cea practică, dar a cărui valoare
este închisă într-un infinit mic. Adică un număr care are o valoare finală incertă,
nedefinibilă sau nedefinitivă, care este mic, dar care nu se mai termină. Adică
nu se termină niciodată. Prima nedumerire. Plecând de aici, este că trebuie să
admitem că dacă măsurăm cu precizie un diametru, un segment de dreaptă, sau îi
stabilim o valoare precisă a lungimii acestui diametru, atunci lungimea reală a
cercului aferent acestui diametru, fie măsurată, fie calculată, nu ne va fi
cunoscută niciodată! Ceea ce nu este confortabil nici unei minți omeneşti.
Încă de acum două milenii şi jumătate
Arhimede a calculat că numărul pi este mai mare ca 3,1408 şi mai mai mic decât
3,1428. Între timp aceste limite s-au tot restrâns, numărul de zecimale fiind
tot mai mare, dar, pentru totdeauna, aceste limite nu vor ajunge să fie egale.
Prima reacție, şi a doua nedumerire, este
să te întrebi dacă acest lucru este cert adevărat sau acest adevăr este
provocat doar de metoda de calcul a acestui număr. Este oare greşită ideea
metodei semi-geometrice de calcul a acestei constante? Dacă şi calculatoarele
de astăzi fac acelaşi lucru ca şi Arhimede, adică construiesc triunghiuri de
inscriere şi de subînscriere a unui cerc şi le însumează laturile dinspre cerc,
atunci este obligatoriu ca acest număr calculat să nu se termine niciodată! Acest
lucru este deranjant logic, pentru concluzia că numărul pi este în sine un infinit
mic şi nu este vorba despre un infinit cauzat de aproximarea de calul perpetuată
la infinit, prin metoda aleasă. Nu rezultă din carte dacă şi computerile actuale
fac sau nu acelaşi artificiu geometric pe care l-a făcut Arhimede. Dar dacă
trecem peste ideea aceasta şi considerăm că numărul pi chiar are un şir infinit
de zecimale atunci merită o discuție pe măsură.
Iar această discuție ne duce la alte
nedumerii şi mai mari.
Să ne uităm puțin spre ,,punct”. Cel care
formează o dreaptă, un segment de creaptă, o curbă sau un cerc, până la urmă. Un
lucru important, pentru a înainta cu raționamentul, este cel al înțelegerii
punctului matematic şi al celui geometric din matematică. Ambele sunt abstracte
şi ambele sunt cu dimensiuni egale cu zero. Adică nu au decât un singur lucru
care le caracterizează. Cel al ,,semnificației” lor. Punctul geometric, cel
desenat, sau doar cel imaginat ca fiind desenat, depăşeşte prin imaginea reală
sau mentală, ideea că are dimensiuni egale cu zero, adică dimensiuni pur nule. Iar
punctul pur matematic, cel al originii unor axe imaginare sau cel al
intersecției unor linii (şi curbe) imaginare, care pot fi nişte funcții, sau
rădăcinile unor ecuații care sunt de asemenea nişte intersecții în nişte puncte,
este de asemenea un punct ,,absolut fără dimensiuni”.
Dacă presupunem că numărul pi este într-adevăr infinit definit, fără a presupune că este de fapt un număr al cărui calcul ce nu se poate termina niciodată, din cauza metodei alese pentru a face acest calcul, ceea ce este altceva, atunci am putea să facem împreună un experiment mental.
Iată experimentul! Trasând un cerc, nimeni
nu poate să oprească compasul cu ultimul punct, desenat fix peste primul punct
pe care l-a desenat când a început să deseneze cercul. Dacă este aşa, având în
vedere că punctul este o imagine mentală, doar, una fără dimensiuni, mersul la
infinit al acelei linii care desenează cercul nu poate fi oprit. Pentru că fie
depăşim cu un punct sau cu mai multe puncte, începutul cercului, fie nu ajungem
să suprapunem, desenând până la capăt şi râmân câteva puncte lipsă. Acest
experiment este unul desenabil în minte, adică unul imaginabil. Dar să începem
să calculăm lungimea unui cerc şi să adăugăm segmente noi după fiecare etapă de
calcul, la care mai adăugăm câteva zecimale, şi tot aşa, al căror număr este însă
unul infinit. Aceasta presupune că nu vom ajunge niciodată să terminăm de calculat
şi de desenat cercul respectiv.
Aceaste presupuneri, cele de mai sus,
ridică o şi mai mare nedumerire. Şi anume! Nu doar o dreaptă este o
reprezentare a unei înşiruiri de puncte de lungime infinită ci şi un cerc este o
reprezentare a unei înşiruiri de puncte de lungime infinită. Cercul doar dă
aparența unei lungimi finite. Dar în realitate un cerc are o lungimea infinită.
Chiar dacă pe hârtie sau pe cer noi vedem clar că un cerc are o lungime finită.
Dar nimeni nu ne poate spune că un cerc are lungimea egală doar cu 2xpi, în
radiani, şi că nu este o linie înfăşurată, cu lungimea de infinit x pi radiani.
Pentru că aceasta este concluzia.
Dar dacă acceptăm concluzia aceasta, va
trebui să acceptăm şi că orice curbă, deschisă sau închisă, neregulată sau regulată,
are o lungime infinită, odată ce numărul pi a intrat în joc în constituența
acesteia. Această afirmație nu este o teoremă ci devine chiar o axiomă, una care
va trebui să modifice, pe ici pe colo anumite adevăruri din matematică.
(Se lămureşte astfel şi ce poate însemna,
pe fond, acel şarpe al filozofiei care îşi muşcă coada!)
Aşadar, ori vedem numărul pi ca fiind
adevărat şi aceptăm aceste inadvertențe ca fiind adevărate, ori nu acceptăm aceste
inadvertențe şi ajungem la o altă idee. Şi anume că modul de calcul al numărului
pi este inadecvat şi introduce eronat şi sistematic o înşiruire infinită de
zecimale ale acestuia, care nu există în realitate!
Nu îmi dau seama dacă o altă metodă de
calcul a numărului pi este imaginabilă sau intuibilă în matematică. Sau şi mai
mult. Nu îmi dau seama dacă o altă metodă, mai precisă şi mai sigură, de calcul
al numărului pi este posibilă. Pentru că tot jocul fascinant şi regulat şi toate
potrivirile sau nepotrivirile zecimalelor numărului pi pleacă de la
sistematizarea metodei de calcul şi nu sunt nişte minuni matematice.
Metoda de calcul prin poligoane, ca sumă a
unor triunghiuri, a lui pi, în primul rând opreşte imaginarea oricărei alte metode
de calcul. Unicitatea, oarecum forțată de posibilități, a metodei prin
folosirea cleştelui, adică a două serii şi deci a două limite aparent antisimetrice,
nu înseamnă că numărul pi nu poate avea o valoare exactă şi finală. Pentru că un
cerc nu este un poligon cu un număr infinit de laturi, ci este o curbă continuă,
care are o lungime precisă şi finită şi finală. Paradoxul metodei este că de fapt nu are loc
calculul raportului pi, ci calculul direct al lungimii aproximate a cercului,
recte a acelui poligon cu n laturi, cât mai multe posibil. Iar raportul care îl
află pe pi este un rezultat al unei lungimi a cercului care tinde spre o valoare
finită. Dar lungimea calculată a cercului este dependentă indirect de raza
acestuia, iar raza apare în raport şi la numărător şi la numitor. Numărătorul
raportului este o funcție de raza R iar numitorul este chiar 2R. Pentru că diametrul
cercului este un rezultat dat de dublarea razei cercului pe oricare dintre
direcții. Aşadar numărul pi este doar paradigmatic şi artificial decis la nivelul
diametrului şi nu al razei unui cerc. Raportul real, ultim şi reprezentativ,
cel care reprezintă un cerc este cel dintre lungimea cercului şi raza sa. Adică
3,14… x 2 = 6,28… Am fi putut foarte bine să ne închinăm astăzi unui alt rege
al numerelor cu valoarea de 6,28…
(Acest
număr ar fi avut pentru un cerc acoperirea de pi radiani şi nu 2pi radiani, ceea
ce pare mai corect şi mai moral, dacă şi in matematică poate fi folosită o idee
de moralitate.)
După un timp de la scrierea acestui text,
până în acest punct, am descoperit o carte recentă, scrisă de către omul de
ştiință italian Pietro Greco, cu numele ,,Povestea numărului π (3,14)” scoasă la
editura Humanitas, 2019.
Fiind vorba numai de acest număr şi de
toată istoria sa, am parcurs cartea cu ideea de a vedea dacă în matematică s-a
găsit şi o a doua cale de calcul a numărului pi. Povestea este şi lungă şi
încurcată şi întinsă pe mai multe mii de ani de istorie a umanițătii. Față de
metoda lui Arhimede se poate spune că au fost încă trei căi sau trei clase de metode
de calcul.
Prima a fost cea, sa spunem, semi empirică,
prin care diverşi autori au găsit, mai mult sau mai puțin fundamentat, rapoarte
de numere care îl obțin pe pi, cu un număr de zecimale finit, chiar scurt.
A doua metodă se foloseşte de aria cercului
şi deduce din produsul pi x r2 ,
prin calcul, valoarea lui pi, calculând prin metode grafice, adică prin
desenarea pseudo-trapezelor, aria cercului. Această metodă a pregătit
descoperirea calcului diferențial.
Iar cea
de a treia metodă, cea în care mi-am pus sperațe, aplicată după ce s-a descoperit
calcul infinitezimal, diferențial şi integral, duce la calcul ariei unui (primului) sfert de
cerc. Cum? Prin integrarea funcției cercului, x2 +y2 = 1, de la x =1 şi y=0 la punctul x=0 şi y=1. Prin
integrare se obține o sumă cât mai lungă, tinzând doar spre nemărginire, de
arii ale unor trapeze dreptunghice cât mai subțiri de această dată, care au
latura de sus, cea înclinată, un arc de cerc care va deveni, si acesta, tot mai
mic, dar niciodată nu va fi un segment de dreaptă. Cu cât computerile devin mai
puternice, cu atât numărului pi i se mai adaugă milioane de zecimale, pentru că
acel arc de cerc se încăpățânează să existe matematic, simbolic, fiind format
din puncte ce nu au dimensiune. Adică din puncte care, de fapt, paradoxal, nu
pot să existe!
La finele cărții, concluzia acceptată acum
în matematică, demonstrată încă din anul 1882, este că numărul pi este transcendent
şi irațional, frate ce numărul ,,e” dar şi cu radical din 2, 
adică cu numărul 1,41…
După citirea şi a acestei cărți au fost
obligat să rămân la considerentele şi îndoielile descrise mai sus, referitoare
la modul de calcul al acestui număr.
Dar tot autorul, termină cartea cu
următoarea propoziție! ,,Fiți siguri că povestea lui pi continuă.” Şi eu sunt
de aceeaşi părere. Că numărul pi nu este încă definitiv, chiar dacă nu se poate
imagina o ştiință şi o tehnică ale viitorului în afara acestui număr!
Există sau nu există o altă metodă, complet
diferită de cea a lui Arhimede dar şi a înaintaşilor lui? În momentul de față nu
se întrevede o astfel de soluție. Dar asta nu înseamnă că nu va veni!
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu